纯函数相关综合（2）（2019版）——压轴系列[尖子生之路]
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纯函数相关综合（2）（2019版）
——压轴系列
【例题】已知二次函数y=mx2－4mx+3m．
(1)求该二次函数图象与x轴的交点坐标；
(2)若m＜0，当1≤x≤4时，y的最大值是2，求当1≤x≤4时，y的最小值；
(3)已知P（2，(m+4)/2），Q（4，(m+4)/2）为平面直角坐标系中两点，当抛物线与线段PQ有公共点时，请求出m的取值范围.
【图文解析】
（1）设y=0，则mx2-4mx+3m=0，
∴m（x2-4x+3）=0．
∵m≠0，∴x2-4x+3=0．
解得x1=3，x2=1，
得交点坐标为（3，0）或（1，0）．
（2）结合图象（如图示）：
由于该二次函数的图象开口向下，且对称轴为直线x＝2，得当x＝2时，y取到在1≤x≤4上的最大值为2（即此时在顶点处），所以4m﹣8m+3m＝2，解得m＝﹣2，进一步得到函数解析式为y＝﹣2x2+8x﹣6．
另一方面，由于当x＝1或3时，y=0(即抛物线与x轴的交点)，由抛物线的性质，得在1≤x≤4范围内，当x＝4时，y在2≤x≤4内取得最小值﹣6（把x=4代入上述解析式求得）．
（3）显然应分m＞0或m＜0，即抛物线开口方向向上或向下两种情况，如下图示：
从图中可以看出，需首先求横坐标分别为2或4时对应的抛物线的点的纵坐标，再与(m+4)/2进行比较即可．
当x=2时，y=4m-8m+3m=-m；当x=4时，y=16m-16m+3m=3m．所以有：
【拓展1】当m≤x≤4时，y的最大值是2，求当m≤x≤4时，y的最小值．
【拓展2】当m≤x≤m+2时，y的最大值是2，求当m≤x≤m+2时，y的最小值．
【拓展3】将第三问中的点P、Q分别改为（m，(m+4)/2），Q（m+2，(m+4)/2）呢？
【拓展4】将第三问中的点P、Q分别改为直线y=2x-4上的两点，且xP=m，PQ＝2√5（点P在点Q的左边）呢？
【拓展5】将原二次函数的解析式改为y=（x－m）2+m-1或y=mx2－4mx或y=mx2+3m-6呢？
（上述问题只做研讨用，不给出答案）
【反思】画出符合题意的草图，结合函数的性质解题．
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